1. 机器数和真值的区别

1.1 机器数

一个数在计算机中的二进制表示形式, 叫做这个数的机器数。机器数是带符号的,在计算机用一个数的最高位存放符号, 正数为0, 负数为1。

比如,十进制中的数 +3 ,计算机字长(bit)为8位,转换成二进制就是0000 0011。如果是 -3 ,就是 1000 0011 。那么,这里的 0000 0011 和 1000 0011 就是机器数。

1.2 真值

因为第一位是符号位,所以机器数的形式值就不等于真正的数值。例如上面的有符号数 1000 0011,其最高位 1 代表负,其真正数值是 -3 而不是形式值 131(1000 0011转换成十进制等于131)。所以,为区别起见,将带符号位的机器数对应的真正数值称为机器数的真值

例:0000 0001的真值 = +000 0001 = +1,1000 0001的真值 = –000 0001 = –1

2. 原码, 反码, 补码的基础概念和计算方法

2.1 原码

原码就是符号位加上真值的绝对值, 即用第一位表示符号, 其余位表示值. 比如如果是8位二进制:
$$
[+1]_原 = 0000 0001
$$

$$
[-1]_原 = 1000 0001
$$

第一位是符号位. 因为第一位是符号位, 所以 8 位二进制数的取值范围就是: $[1111\ 1111 , 0111\ 1111]$

即 $[-127 , 127]$

2.2 反码

反码的表示方法是:

  • 正数的反码是其本身
  • 负数的反码是在其原码的基础上,符号位不变,其余各个位取反

$$
[+1] = [0000\ 0001]原 = [0000\ 0001]
$$

$$
[-1] = [1000\ 0001]原 = [1111\ 1110]
$$

2.3 补码

补码的计算完全是2进制的计算,没有符号位,而且该溢出溢出

补码的表示方法是:

  • 正数的补码就是其本身

  • 负数的补码是在其原码的基础上, 符号位不变,其余各位取反,最后+1。(即在反码的基础上+1)

$$
[+1] = [0000\ 0001]原 = [0000\ 0001]反 = [0000\ 0001]_补
$$

$$
[-1] = [1000\ 0001]原 = [1111\ 1110]反 = [1111\ 1111]_补
$$

特性:

  • 一个负整数(或原码)与其补数(或补码)相加,和为模。

  • 对一个整数的补码再求补码,等于该整数自身。

  • 补码的正零与负零表示方法相同。

2.4 总结

1
2
3
4
整数:原码 = 反码 = 补码
负数:
反码 = 原码的无符号位取反
补码 = 反码 + 1

3. 为什么要使用原码,反码,补码

在计算机系统中,数值一律用补码来表示和存储。原因在于,使用补码,可以将符号位和数值域统一处理;同时,加法和减法也可以统一处理。此外,补码与原码相互转换,其运算过程是相同的,不需要额外的硬件电路。

对于计算机, 加减乘数已经是最基础的运算,要设计的尽量简单。计算机辨别”符号位”显然会让计算机的基础电路设计变得十分复杂!于是人们想出了将符号位也参与运算的方法。我们知道,根据运算法则减去一个正数等于加上一个负数,即: 1-1 = 1 + (-1) = 0 ,所以机器可以只有加法而没有减法,这样计算机运算的设计就更简单了。

3.1 使用原码计算1-1=0

$$
1 - 1 = 1 + (-1) = [00000001]原 + [10000001]原 = [10000010]_原 = -2
$$

如果用原码表示,让符号位也参与计算,显然对于减法来说,结果是不正确的。这也就是为何计算机内部不使用原码表示一个数。

3.2 使用反码计算1-1=0

$$
1 - 1 = 1 + (-1) = [0000 0001]原 + [1000 0001]原= [0000 0001]反 + [1111 1110]反 = [1111 1111]反 = [1000 0000]原 = -0
$$

发现用反码计算减法,结果的真值部分是正确的。而唯一的问题其实就出现在”0”这个特殊的数值上。虽然人们理解上+0和-0是一样的,但是0带符号是没有任何意义的。而且会有[0000 0000]原和[1000 0000]原两个编码表示0。

3.3 使用补码计算1-1=0

$$
1-1 = 1 + (-1) = [0000 0001]原 + [1000 0001]原 = [0000 0001]补 + [1111 1111]补 = [0000 0000]补=[0000 0000]
$$

这样0用[0000 0000]表示,而以前出现问题的-0则不存在了。而且可以用[1000 0000]表示-128:
$$
(-1) + (-127) = [1000 0001]原 + [1111 1111]原 = [1111 1111]补 + [1000 0001]补 = [1000 0000]_补
$$
-1-127的结果应该是-128,在用补码运算的结果中, [1000 0000]补 就是-128.。但是注意因为实际上是使用以前的-0的补码来表示-128,,所以-128并没有原码和反码表示。(对-128的补码表示[1000 0000]补算出来的原码是[0000 0000]原,,这是不正确的)

4. 数学原理

模一定的情况下,减法都可以变换成加法来运算